Los Precios Sombra en el Análisis de Sensibilidad
Descubre qué son los precios sombra (valores duales), cómo encontrarlos en el tableau Simplex óptimo y cómo usarlos para tomar decisiones de asignación de recursos más inteligentes.
¿Qué Es un Precio Sombra?
En programación lineal, cada restricción representa un recurso limitado: horas de trabajo, materias primas, capacidad de máquina. Un precio sombra (también llamado valor dual o valor marginal) responde a la pregunta: "Si pudiera obtener una unidad adicional de este recurso, ¿en cuánto mejoraría mi valor objetivo óptimo?"
Formalmente, el precio sombra πi de la restricción i se define como:
πi = ΔZ* / Δbi
donde Z* es el valor objetivo óptimo y bi es el lado derecho (LD) de la restricción i.
Ejemplo Práctico
Un fabricante de muebles produce Sillas (S) y Mesas (M):
Maximizar Z = 40S + 60M
Sujeto a:
2S + 4M ≤ 80 (horas de carpintería)
3S + 2M ≤ 60 (horas de acabado)
S, M ≥ 0
Tras resolver el Simplex, el tableau óptimo final es:
| VB | S | M | s&sub1; | s&sub2; | LD |
|---|---|---|---|---|---|
| Z | 10 | 0 | 10 | 10 | −1.000 |
| M | 1/4 | 1 | 1/4 | −1/4 | 15 |
| s&sub2; | 5/2 | 0 | −1/2 | 3/2 | 30 |
Solución óptima: M = 15, S = 0, Z = $1.000.
Lectura de Precios Sombra desde el Tableau
En la fila Z del tableau óptimo final, los coeficientes bajo las columnas de variables de holgura son precisamente los precios sombra de las restricciones correspondientes:
- Coeficiente de s&sub1; en fila Z = 10 → precio sombra de la restricción de carpintería = $10 por hora
- Coeficiente de s&sub2; en fila Z = 10 → precio sombra de la restricción de acabado = $10 por hora
Interpretación Económica
El precio sombra de $10 para carpintería significa: obtener una hora adicional de carpintería aumentaría el beneficio máximo en $10. Este es el precio máximo que el fabricante debería pagar por una hora extra de trabajo de carpintería.
- Restricciones activas (holgura = 0) tienen precios sombra > 0.
- Restricciones no activas (holgura > 0) siempre tienen precio sombra de cero.
Rango de Factibilidad
Un precio sombra sólo es válido dentro del rango de factibilidad: el intervalo de valores del LD para el cual la base actual sigue siendo óptima. Fuera de este rango se produce un cambio de base y el precio sombra cambia.
Decisiones Empresariales Prácticas
- Subcontratación: ¿Debería pagar $15/hora por capacidad adicional de carpintería? El precio sombra ($10) dice que no: la ganancia marginal es menor que el coste.
- Inversión: Una máquina que añade 20 horas de acabado vale como máximo 20 × $10 = $200 anuales en beneficio adicional.
Conclusión
Los precios sombra transforman una solución estática de programación lineal en un mapa económico. Leyendo los coeficientes de la fila Z bajo las columnas de holgura del tableau Simplex óptimo, se conoce inmediatamente el valor marginal de cada recurso restringido, lo que permite tomar decisiones precisas sobre inversiones en capacidad, subcontratación y precios sin necesidad de resolver de nuevo el PL.