Els Preus Ombra en l'Anàlisi de Sensibilitat
Descobreix què són els preus ombra (valors duals), com trobar-los al tableau Simplex òptim i com utilitzar-los per prendre decisions d'assignació de recursos més intel·ligents.
Què És un Preu Ombra?
En programació lineal, cada restricció representa un recurs limitat: hores de treball, matèries primeres, capacitat de maquinària. Un preu ombra (també anomenat valor dual o valor marginal) respon a la pregunta: "Si pogués obtenir una unitat addicional d'aquest recurs, en quant milloraria el meu valor objectiu òptim?"
Formalment, el preu ombra πi de la restricció i es defineix com:
πi = ΔZ* / Δbi
on Z* és el valor objectiu òptim i bi és el costat dret (CD) de la restricció i.
Exemple Pràctic
Un fabricant de mobles produeix Cadires (C) i Taules (T):
Maximitzar Z = 40C + 60T
Subjecte a:
2C + 4T ≤ 80 (hores de fusteria)
3C + 2T ≤ 60 (hores d'acabat)
C, T ≥ 0
Després de resoldre el Simplex, el tableau òptim final és:
| VB | C | T | s&sub1; | s&sub2; | CD |
|---|---|---|---|---|---|
| Z | 10 | 0 | 10 | 10 | −1.000 |
| T | 1/4 | 1 | 1/4 | −1/4 | 15 |
| s&sub2; | 5/2 | 0 | −1/2 | 3/2 | 30 |
Solució òptima: T = 15, C = 0, Z = $1.000.
Lectura dels Preus Ombra des del Tableau
A la fila Z del tableau òptim final, els coeficients sota les columnes de variables de folgança són precisament els preus ombra de les restriccions corresponents:
- Coeficient de s&sub1; a la fila Z = 10 → preu ombra de la restricció de fusteria = $10 per hora
- Coeficient de s&sub2; a la fila Z = 10 → preu ombra de la restricció d'acabat = $10 per hora
Interpretació Econòmica
El preu ombra de $10 per fusteria significa: obtenir una hora addicional de fusteria augmentaria el benefici màxim en $10. Aquest és el preu màxim que el fabricant hauria de pagar per una hora extra.
- Restriccions actives (folgança = 0) tenen preus ombra > 0.
- Restriccions no actives (folgança > 0) sempre tenen preu ombra de zero.
Rang de Factibilitat
Un preu ombra només és vàlid dins del rang de factibilitat: l'interval de valors del CD per al qual la base actual continua sent òptima. Fora d'aquest rang es produeix un canvi de base i el preu ombra canvia.
Decisions Empresarials Pràctiques
- Subcontractació: Hauries de pagar $15/hora per capacitat addicional de fusteria? El preu ombra ($10) diu que no: el guany marginal és menor que el cost.
- Inversió: Una màquina que afegeix 20 hores d'acabat val com a màxim 20 × $10 = $200 anuals en benefici addicional.
Conclusió
Els preus ombra transformen una solució estàtica de programació lineal en un mapa econòmic. Llegint els coeficients de la fila Z sota les columnes de folgança del tableau Simplex òptim, es coneix immediatament el valor marginal de cada recurs restringit, permetent prendre decisions precises sobre inversions en capacitat, subcontractació i preus sense necessitat de tornar a resoldre el PL.